Kaosteori är ett spännande område inom matematik och fysik som förklarar hur enkla system – trots att de följer exakta regler – ändå kan bete sig totalt oförutsägbart. Det handlar om system som är deterministiska, men samtidigt extremt känsliga för små förändringar. Det mest kända uttrycket för detta är fjärilseffekten:
“En fjärils vingslag i Brasilien kan orsaka en tornado i Texas.”
För att förstå detta rent praktiskt har vi på LearnE.se skapat en gratis Excelmall där du själv kan experimentera med ett av de mest klassiska exemplen på kaosteori – den logistiska kartan. I detta blogginlägg får du lära dig vad kaosteori är, hur den logistiska kartan fungerar, och hur du kan använda mallen för att upptäcka kaos med dina egna ögon.
🧠 Vad är kaosteori?
Kaosteori är studien av komplexa system där små förändringar i startvärden kan leda till dramatiskt olika resultat. Trots att dessa system följer enkla regler är de praktiskt omöjliga att förutsäga efter ett visst antal steg – just eftersom den minsta lilla förändring växer och förstoras med varje iteration.
Ett exempel:
Om du startar med värdet 0,500 i ett visst system kan du efter 20 steg hamna på 0,8.
Om du istället startar med 0,501 – bara 0,001 skillnad – kan du efter 20 steg hamna på ett helt annat värde, t.ex. 0,2.
Det är detta oförutsägbara beteende som gör kaosteori både fascinerande och användbart inom allt från väderprognoser till biologi, ekonomi och teknik.
🔢 Vad är den logistiska kartan?
Den logistiska kartan är en matematisk modell som ofta används för att visa hur kaos kan uppstå i ett enkelt system. Formeln ser ut så här:
xn+1=r⋅xn⋅(1−xn)x_{n+1} = r \cdot x_n \cdot (1 – x_n)
Där:
xnx_n = värdet vid tidpunkt n
rr = tillväxtfaktor (mellan 0 och 4)
x0x_0 = startvärdet (mellan 0 och 1)
Formeln är otroligt enkel, men beroende på värdet på r beter sig systemet helt olika:
| r-värde | Systemets beteende |
|---|---|
| 0–1 | Populationen dör ut |
| 1–3 | Systemet stabiliseras |
| 3–3.45 | Systemet börjar pendla mellan olika värden |
| 3.57–4.0 | Systemet blir helt kaotiskt – ingen ordning går att urskilja |
När r är nära 3,9 – som i vår Excelmall – befinner sig systemet mitt i kaos. Därmed kan du enkelt själv se hur oförutsägbart systemet blir, bara genom att testa olika startvärden i mallen.
📥 Ladda ner vår gratis kaosteori-mall i Excel
Vi har gjort det enkelt för dig att komma igång!
🔗 Ladda ner mallen här:
👉 Kaosteori – Excelmall (.xlsx)
Mallen är 100 % gratis och innehåller:
Blad 1 – Data:
Iterationer (steg) och resultaten för den logistiska kartan.Blad 2 – Parametrar:
Här fyller du i tre nyckelvärden:r(t.ex. 3,9)x₀– startvärde (t.ex. 0,5)Antal iterationer(t.ex. 100)
Du kan sedan själv lägga till ett makro i VBA (Visual Basic for Applications) för att generera fler kurvor och visualisera dem i diagram. Eller så använder du mallen som den är och fyller i nya parametrar manuellt för varje test.
🧪 Vad kan du experimentera med i mallen?
Här är några saker du kan prova:
1. Byt startvärde x₀
Ändra från 0,5 till 0,501 – och se hur grafen snabbt skiljer sig efter bara några steg.
2. Ändra tillväxtfaktor r
Testa r = 2.5 (stabilt system), r = 3.2 (pendlande) och r = 3.9 (kaotiskt). Se hur mönstret förändras dramatiskt.
3. Öka antal iterationer
Kör 200 eller 300 steg för att se långsiktigt beteende. Du kommer upptäcka hur vissa värden återkommer, medan andra är helt slumpmässiga.
4. Bygg ett linjediagram i Excel
Markera kolumnerna med Iteration och Värde. Infoga ett linjediagram och se hur kurvan förändras varje gång du testar nya parametrar.
💡 Varför använda Excel för att förstå kaos?
Excel är ett kraftfullt verktyg även för matematiska simuleringar. Med enkla formler, en tabell och kanske lite VBA kan du:
Visualisera komplexa mönster
Utföra hundratals beräkningar automatiskt
Testa hypoteser och bygga egna modeller
Förstå kaosteori hands-on, inte bara teoretiskt
🔧 Vill du lägga till VBA-kod?
Om du vill göra mallen ännu mer kraftfull kan du lägga till ett enkelt VBA-skript som:
Läser parametrar från celler
Genererar nya datakolumner automatiskt
Skapar eller uppdaterar diagram
Lägger till flera kurvor i samma graf
Vi har skrivit en sådan kod i vårt tidigare blogginlägg – läs gärna det om du vill gå ett steg längre.
🎓 Rekommenderade Excelkurser från LearnE
Om du tycker det här är intressant, så kommer du att älska våra Excelkurser!
Hos LearnE.se hittar du kurser som lär dig allt från grunderna till avancerade funktioner och automation. Du får tillgång till pedagogiska videolektioner, övningsfiler, quiz och diplom.
📘 Våra mest populära kurser:
| Kurs | Längd | Innehåll |
|---|---|---|
| Excel Grundkurs | 18h 49min | Introduktion, formler, diagram |
| Excel Tabeller | 6h 53min | Tabeller, databaser, filter |
| Excel Fortsättning | 16h 11min | Pivottabeller, makron, Power Query |
✅ Fördelar:
Lär dig i din egen takt – helt online
Tillgång i 12 månader
Perfekt för både nybörjare och yrkesproffs
Utbildningen är på svenska
📦 Vill du ha allt i ett paket?
Då är vårt Excelpaket – kampanj perfekt för dig!
💬 Sammanfattning
Att förstå kaos kan låta överväldigande, men genom ett enkelt exempel som den logistiska kartan kan du själv se hur kaos uppstår – direkt i Excel.
Med vår kostnadsfria mall får du en möjlighet att experimentera, bygga grafer och se med egna ögon vad som händer när du ändrar en parameter med bara en tusendels enhet.
Excel är inte bara ett verktyg för kalkyler – det är också ett fönster in i matematikens och naturens mysterier.
📎 Länkar
📥 Ladda ner Excelmallen:
👉 https://learne.se/wp-content/uploads/2025/07/Kaosteori_Mall_Bas.xlsx
🎓 Läs mer om våra Excelkurser:
👉 https://learne.se/kurser/excel
📦 Excelpaketet – bästa startpaketet:
👉 https://learne.se/produkt/excel-paket-kampanj
Vill du att vi även tar fram fler avancerade mallar, t.ex. populationstillväxt, fraktaler eller systemdynamik? Skriv till oss på [email protected] – vi bygger mallar för både undervisning och nöje!
